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CALCULO DE PROBABILIDADES

En un experimento aleatorio no se tiene la certeza sobre la ocurrencia de un evento específico y una forma de medir la posibilidad o probabilidad de que el evento suceda, consiste en asignarle un número real entre 0 y 1. Si es seguro que el evento ocurrirá, se dice que su probabilidad es 1 o del 100%; pero sí es seguro que el evento no ocurrirá, se dice que su probabilidad es 0 o del 0%.  

A continuación se presentan dos enfoques para el cálculo de probabilidades: el enfoque clásico y el enfoque como frecuencia relativa.

ENFOQUE CLÁSICO O A PRIORI

Dado un experimento aleatorio, la probabilidad, P(E), de que ocurra un evento E, es:

Donde #E es el número de elementos del evento E y #S es el número de elementos del espacio muestral S.

ENFOQUE COMO FRECUENCIA RELATIVA O A POSTERIORI

La probabilidad de que ocurra un evento E, corresponde a la frecuencia relativa del evento hi, de tal forma que:

Donde    es la frecuencia absoluta del evento E y N es el total de observaciones o datos.

EJEMPLOS

Enfoque clásico

Ejemplo 5.20

Al lanzar un dado y observar la cara que muestra hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un tres?

Solución:

El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles (#S=6), que son S={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Si E representa el evento de que aparezca el número tres, E={3}, entonces #E=1, luego:

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un tres en la cara superior del dado, es

Ejemplo 5.21

Al lanzar una moneda cuatro veces al aire, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga una sola cara?

Solución:

Se puede saber de antemano el número de resultados posibles, aplicando el principio de multiplicación, con N=2, dado que en cada lanzamiento hay dos posibilidades (Cara o Sello) y n=4, por ser cuatro lanzamientos. De esta manera,

Es decir, hay 16 resultados posibles en el espacio muestral. Para listar estos resultados, se emplea el siguiente diagrama de árbol:

Si E representa el evento de que se obtenga una sola cara, E={CSSS, SCSS, SSCS, SSSC}, entonces #E=4. Así,

Es decir, hay un 25% de probabilidad de obtener una sola cara al lanzar una moneda cuatro veces al aire.

Enfoque a posteriori

Ejemplo 5.22

Si 130 de 200 personas de La Arena encuestadas en las calles del corregimiento declararon que preferirían al candidato A que al candidato B para las elecciones de alcalde, estimemos la probabilidad de que al encuestar a una persona en las calles de La Arena, prefiera al candidato A.

Solución:

Si E simboliza el evento de que al encuestar a una persona manifieste que prefiere al candidato A, entonces:

                                                                Ó      

Es decir, la probabilidad de que una persona, encuestada en las calles de La Arena, prefiera al candidato A, es 65%.

Ejemplo 5.23

Se preguntó a un grupo de estudiantes sobre su materia preferida. Los datos recopilados se muestran en la siguiente tabla:

MATERIA FRECUENCIA ( f )
Artística 26
E. Física 28
Matemáticas 24
Naturales 18
Sociales 14
Total N= 110

Si se escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su materia preferida sea matemáticas?

Solución:

En este caso, la frecuencia absoluta para matemáticas es f3=24 y N=110, por lo tanto, si E representa el evento de que el estudiante seleccionado prefiera matemáticas, entonces:

Luego, si se escoge un estudiante al azar, la probabilidad de que su materia preferida sea matemáticas, es de aproximadamente 0,2182 o 21,82%.