El principio de multiplicación permite encontrar el número de elementos del espacio muestral en aquellos experimentos aleatorios en los cuales el orden es relevante y puede haber repetición.
ESTADISTICA Y PROBABILIDAD
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Definición
Dado un experimento aleatorio con una población de N elementos y una muestra de n elementos, el número de formas distintas de resultar el experimento es:
#(S)=Nn
Donde #(S) corresponde al número de elementos del espacio muestral
EJEMPLO 5.9
Si se desea hacer una rifa en la que cada boleta tiene un número de tres cifras, ¿cuántas boletas se deben imprimir?
Solución:
En este caso como cada cifra tiene diez posibilidades (0, 1, 2, 3, …, 9), N=10, y como el número debe tener tres cifras, entonces n=3. Luego,
#(S) = Nn = 103 = 1000
Por lo tanto, se deben imprimir 1000 boletas distintas.
EJEMPLO 5.10
Al lanzar un dado común dos veces, ¿cuántos y cuáles son los resultados posibles en el espacio muestral?
Solución:
En cada lanzamiento hay 6 posibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6), y son 2 lanzamientos, entonces N=6 y n=2. Por lo tanto,
#(S) = Nn = 62 = 36
Es decir hay 36 resultados posibles en el espacio muestral. Para determinar cuáles son los 36 puntos muestrales, se puede utilizar un diagrama de árbol, en el cual se escriben en forma ramificada los elementos de cada lanzamiento.
Se observa que cada camino corresponde a un punto muestral. Así, los 36 puntos muestrales para este experimento son:
|
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) |
El principio de multiplicación también se aplica para casos en los cuales se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes o casos en los cuales es posible determinar las etapas necesarias para realizar un experimento aleatorio.
Definición
Si se tienen N1, N2,…,Nr poblaciones distintas (o alternativas en cada etapa) y se debe tomar una muestra con elementos de cada una de ellas, el número de elementos del espacio muestral es:
#(S)=N1 x N2 X ... X Nr
EJEMPLO 5.11
En una determinada fábrica, para que un mueble llegue a su ensamble final, necesita pasar por tres secciones:
Sección 1: Carpintería
Sección 2: Pintura
Sección 3: Tapizado
En la sección de carpintería hay tres operarios, en la sección de pintura hay dos operarios, y en la sección de tapizado hay cuatro operarios. En cada sección, el operario correspondiente se encarga de trabajar específicamente en ese mueble. ¿De cuántas formas se puede ensamblar un mueble?
Solución:
La situación se puede representar de la siguiente forma
En esta situación, cada sección corresponde a una etapa, por lo tanto N1=3 es el número de operarios en la sección de carpintería, N2=2 es el número de operarios en la sección de pintura y N3=4 es el número de operarios en la sección de tapizado. Por lo tanto:
# (S) = N1 x N2 X N3 = 3 X 2 X 4 = 24
Es decir, se puede concluir que hay 24 formas de ensamblar un mueble.
El diagrama de árbol para esta situación es el siguiente:
EJEMPLO 5.12
Mi hermano Jairo lleva para un viaje 3 pantalones y 4 camisas. ¿De cuántas formas diferentes se puede vestir Jairo?
Solución:
Como se trata de diferentes artículos para combinar se hace referencia al principio de multiplicación. En este caso N1=3 corresponde al número de pantalones y N2=4 al número de camisas, luego:
# (S) = N1 x N2 = 3 X 4 = 12
Por lo anterior, Jairo se puede vestir de 12 maneras diferentes en el viaje
EJEMPLO 5.13
Un almacén agropecuario ofrece a sus clientes 5 tipos de semillas de maíz, 3 tipos de semillas de ñame y 2 tipos de semillas de arroz. Si un campesino va a comprar un tipo de semilla de cada producto, ¿cuántas opciones tiene para escoger los tres tipos de semilla?
Solución:
La situación se puede representar de la siguiente forma
En esta situación, las semillas de cada producto se pueden ver como poblaciones, por lo tanto N1=5 es el número de tipos de semillas de maíz, N2=3 es el número de semillas de ñame y N3=2 es el número de semillas de arroz. Por lo tanto:
# (S) = N1 X N2 X N3 = 5 X 3 X 2 =30
Es decir, el campesino tiene 30 formas diferentes de escoger los tres tipos de semilla.
El diagrama de árbol para esta situación es el siguiente:
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